Resolver {l}{6m-5n=-9}{4m+3n=13(5)}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 m - 5 n = - 9 } \\ { 4 m + 3 n = 13 ( 5 ) } \end{array} \right.$$

Resolver m, n

$$m = \frac{149}{19} = 7\frac{16}{19} \approx 7.842105263$$

$$n = \frac{213}{19} = 11\frac{4}{19} \approx 11.210526316$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a m mediante o illamento de m no lado esquerdo do signo igual.

$$6m-5n=-9$$

Suma 5n en ambos lados da ecuación.

$$6m=5n-9$$

Divide ambos lados entre 6.

$$m=\frac{1}{6}\left(5n-9\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por 5n-9.

$$m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}$$

Substitúe m por \frac{5n}{6}-\frac{3}{2} na outra ecuación, 4m+3n=65.

$$4\left(\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}\right)+3n=65$$

Multiplica 4 por \frac{5n}{6}-\frac{3}{2}.

$$\frac{10}{3}n-6+3n=65$$

Suma \frac{10n}{3} a 3n.

$$\frac{19}{3}n-6=65$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{19}{3}n=71$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{19}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$n=\frac{213}{19}$$

Substitúe n por \frac{213}{19} en m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$m=\frac{5}{6}\times \frac{213}{19}-\frac{3}{2}$$

Multiplica \frac{5}{6} por \frac{213}{19} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$m=\frac{355}{38}-\frac{3}{2}$$

Suma -\frac{3}{2} a \frac{355}{38} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$m=\frac{149}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{6}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\\-\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\left(-9\right)+\frac{5}{38}\times 65\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)+\frac{3}{19}\times 65\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{149}{19}\\\frac{213}{19}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz m e n.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

Para que 6m e 4m sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 6.

$$4\times 6m+4\left(-5\right)n=4\left(-9\right),6\times 4m+6\times 3n=6\times 65$$

Simplifica.

$$24m-20n=-36,24m+18n=390$$

Resta 24m+18n=390 de 24m-20n=-36 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$24m-24m-20n-18n=-36-390$$

Suma 24m a -24m. 24m e -24m anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-20n-18n=-36-390$$

Suma -20n a -18n.

$$-38n=-36-390$$

Suma -36 a -390.

$$-38n=-426$$

Divide ambos lados entre -38.

$$n=\frac{213}{19}$$

Substitúe n por \frac{213}{19} en 4m+3n=65. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$4m+3\times \frac{213}{19}=65$$

Multiplica 3 por \frac{213}{19}.

$$4m+\frac{639}{19}=65$$

Resta \frac{639}{19} en ambos lados da ecuación.

$$4m=\frac{596}{19}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$m=\frac{149}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$