Resolver {l}{500y+150.25x=0}{2990y+225.75x=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 500 y + 150.25 x = 0 } \\ { 2990 y + 225.75 x = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=0$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$500y+150.25x=0,2990y+225.75x=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$500y+150.25x=0$$

Resta \frac{601x}{4} en ambos lados da ecuación.

$$500y=-150.25x$$

Divide ambos lados entre 500.

$$y=\frac{1}{500}\left(-150.25\right)x$$

Multiplica \frac{1}{500} por -\frac{601x}{4}.

$$y=-\frac{601}{2000}x$$

Substitúe y por -\frac{601x}{2000} na outra ecuación, 2990y+225.75x=0.

$$2990\left(-\frac{601}{2000}\right)x+225.75x=0$$

Multiplica 2990 por -\frac{601x}{2000}.

$$-\frac{179699}{200}x+225.75x=0$$

Suma -\frac{179699x}{200} a \frac{903x}{4}.

$$-\frac{134549}{200}x=0$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{134549}{200}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=0$$

Substitúe x por 0 en y=-\frac{601}{2000}x. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=0,x=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$500y+150.25x=0,2990y+225.75x=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{225.75}{500\times 225.75-150.25\times 2990}&-\frac{150.25}{500\times 225.75-150.25\times 2990}\\-\frac{2990}{500\times 225.75-150.25\times 2990}&\frac{500}{500\times 225.75-150.25\times 2990}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{903}{1345490}&\frac{601}{1345490}\\\frac{1196}{134549}&-\frac{200}{134549}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=0,x=0$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$500y+150.25x=0,2990y+225.75x=0$$

Para que 500y e 2990y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2990 e todos os termos a cada lado da segunda por 500.

$$2990\times 500y+2990\times 150.25x=0,500\times 2990y+500\times 225.75x=0$$

Simplifica.

$$1495000y+449247.5x=0,1495000y+112875x=0$$

Resta 1495000y+112875x=0 de 1495000y+449247.5x=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$1495000y-1495000y+449247.5x-112875x=0$$

Suma 1495000y a -1495000y. 1495000y e -1495000y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$449247.5x-112875x=0$$

Suma \frac{898495x}{2} a -112875x.

$$336372.5x=0$$

Divide ambos lados da ecuación entre 336372.5, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=0$$

Substitúe x por 0 en 2990y+225.75x=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2990y=0$$

Divide ambos lados entre 2990.

$$y=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=0,x=0$$