Resolver {l}{50x+3y=1}{2x-4y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 50 x + 3 y = 1 } \\ { 2 x - 4 y = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{19}{206}\approx 0.09223301$$

$$y = -\frac{124}{103} = -1\frac{21}{103} \approx -1.203883495$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$50x+3y=1$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$50x=-3y+1$$

Divide ambos lados entre 50.

$$x=\frac{1}{50}\left(-3y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{50} por -3y+1.

$$x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}$$

Substitúe x por \frac{-3y+1}{50} na outra ecuación, 2x-4y=5.

$$2\left(-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}\right)-4y=5$$

Multiplica 2 por \frac{-3y+1}{50}.

$$-\frac{3}{25}y+\frac{1}{25}-4y=5$$

Suma -\frac{3y}{25} a -4y.

$$-\frac{103}{25}y+\frac{1}{25}=5$$

Resta \frac{1}{25} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{103}{25}y=\frac{124}{25}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{103}{25}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{124}{103}$$

Substitúe y por -\frac{124}{103} en x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{50}\left(-\frac{124}{103}\right)+\frac{1}{50}$$

Multiplica -\frac{3}{50} por -\frac{124}{103} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{186}{2575}+\frac{1}{50}$$

Suma \frac{1}{50} a \frac{186}{2575} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{19}{206}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{50\left(-4\right)-3\times 2}&-\frac{3}{50\left(-4\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{50\left(-4\right)-3\times 2}&\frac{50}{50\left(-4\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}&\frac{3}{206}\\\frac{1}{103}&-\frac{25}{103}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}+\frac{3}{206}\times 5\\\frac{1}{103}-\frac{25}{103}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{206}\\-\frac{124}{103}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

Para que 50x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 50.

$$2\times 50x+2\times 3y=2,50\times 2x+50\left(-4\right)y=50\times 5$$

Simplifica.

$$100x+6y=2,100x-200y=250$$

Resta 100x-200y=250 de 100x+6y=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$100x-100x+6y+200y=2-250$$

Suma 100x a -100x. 100x e -100x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y+200y=2-250$$

Suma 6y a 200y.

$$206y=2-250$$

Suma 2 a -250.

$$206y=-248$$

Divide ambos lados entre 206.

$$y=-\frac{124}{103}$$

Substitúe y por -\frac{124}{103} en 2x-4y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-4\left(-\frac{124}{103}\right)=5$$

Multiplica -4 por -\frac{124}{103}.

$$2x+\frac{496}{103}=5$$

Resta \frac{496}{103} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{19}{103}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{19}{206}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$