Resolver {l}{5x-y=6}{3x-4y=-10}quad{l}{x-3}{y=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 6 } \\ { 3 x - 4 y = - 10 } \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array} { l } { x - 3 } \\ { y = - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-y=6,3x-4y=-10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-y=6$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$5x=y+6$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por y+6.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{6}{5}$$

Substitúe x por \frac{6+y}{5} na outra ecuación, 3x-4y=-10.

$$3\left(\frac{1}{5}y+\frac{6}{5}\right)-4y=-10$$

Multiplica 3 por \frac{6+y}{5}.

$$\frac{3}{5}y+\frac{18}{5}-4y=-10$$

Suma \frac{3y}{5} a -4y.

$$-\frac{17}{5}y+\frac{18}{5}=-10$$

Resta \frac{18}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{17}{5}y=-\frac{68}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{17}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=\frac{1}{5}y+\frac{6}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{5}\times 4+\frac{6}{5}$$

Multiplica \frac{1}{5} por 4.

$$x=\frac{4+6}{5}$$

Suma \frac{6}{5} a \frac{4}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-y=6,3x-4y=-10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-1\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{5\left(-4\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-4\right)-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&-\frac{1}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 6-\frac{1}{17}\left(-10\right)\\\frac{3}{17}\times 6-\frac{5}{17}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-y=6,3x-4y=-10$$

Para que 5x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 6,5\times 3x+5\left(-4\right)y=5\left(-10\right)$$

Simplifica.

$$15x-3y=18,15x-20y=-50$$

Resta 15x-20y=-50 de 15x-3y=18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x-3y+20y=18+50$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y+20y=18+50$$

Suma -3y a 20y.

$$17y=18+50$$

Suma 18 a 50.

$$17y=68$$

Divide ambos lados entre 17.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en 3x-4y=-10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-4\times 4=-10$$

Multiplica -4 por 4.

$$3x-16=-10$$

Suma 16 en ambos lados da ecuación.

$$3x=6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=4$$