Resolver {l}{5x-y=1}{x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 1 } \\ { x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$y = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2.25$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-y=1,x-y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-y=1$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$5x=y+1$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por y+1.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}$$

Substitúe x por \frac{1+y}{5} na outra ecuación, x-y=2.

$$\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}-y=2$$

Suma \frac{y}{5} a -y.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{1}{5}=2$$

Resta \frac{1}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{4}{5}y=\frac{9}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{4}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{9}{4}$$

Substitúe y por -\frac{9}{4} en x=\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{5}\left(-\frac{9}{4}\right)+\frac{1}{5}$$

Multiplica \frac{1}{5} por -\frac{9}{4} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{9}{20}+\frac{1}{5}$$

Suma \frac{1}{5} a -\frac{9}{20} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{1}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{4},y=-\frac{9}{4}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-y=1,x-y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{5\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{5}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\times 2\\\frac{1}{4}-\frac{5}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\-\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{1}{4},y=-\frac{9}{4}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-y=1,x-y=2$$

Resta x-y=2 de 5x-y=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-x-y+y=1-2$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5x-x=1-2$$

Suma 5x a -x.

$$4x=1-2$$

Suma 1 a -2.

$$4x=-1$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Substitúe x por -\frac{1}{4} en x-y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-\frac{1}{4}-y=2$$

Suma \frac{1}{4} en ambos lados da ecuación.

$$-y=\frac{9}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{4},y=-\frac{9}{4}$$