Resolver {l}{5x-8y=9}{2x+y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 8 y = 9 } \\ { 2 x + y = 12 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-8y=9,2x+y=12$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-8y=9$$

Suma 8y en ambos lados da ecuación.

$$5x=8y+9$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(8y+9\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 8y+9.

$$x=\frac{8}{5}y+\frac{9}{5}$$

Substitúe x por \frac{8y+9}{5} na outra ecuación, 2x+y=12.

$$2\left(\frac{8}{5}y+\frac{9}{5}\right)+y=12$$

Multiplica 2 por \frac{8y+9}{5}.

$$\frac{16}{5}y+\frac{18}{5}+y=12$$

Suma \frac{16y}{5} a y.

$$\frac{21}{5}y+\frac{18}{5}=12$$

Resta \frac{18}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{21}{5}y=\frac{42}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{21}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=\frac{8}{5}y+\frac{9}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{8}{5}\times 2+\frac{9}{5}$$

Multiplica \frac{8}{5} por 2.

$$x=\frac{16+9}{5}$$

Suma \frac{9}{5} a \frac{16}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-8y=9,2x+y=12$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{5-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-8\times 2\right)}&\frac{5}{5-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{21}&\frac{8}{21}\\-\frac{2}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{21}\times 9+\frac{8}{21}\times 12\\-\frac{2}{21}\times 9+\frac{5}{21}\times 12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-8y=9,2x+y=12$$

Para que 5x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$2\times 5x+2\left(-8\right)y=2\times 9,5\times 2x+5y=5\times 12$$

Simplifica.

$$10x-16y=18,10x+5y=60$$

Resta 10x+5y=60 de 10x-16y=18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x-16y-5y=18-60$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-16y-5y=18-60$$

Suma -16y a -5y.

$$-21y=18-60$$

Suma 18 a -60.

$$-21y=-42$$

Divide ambos lados entre -21.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 2x+y=12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+2=12$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$2x=10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=2$$