Resolver {l}{5x-8=y}{3x+2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 8 = y } \\ { 3 x + 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{18}{13} = 1\frac{5}{13} \approx 1.384615385$$

$$y = -\frac{14}{13} = -1\frac{1}{13} \approx -1.076923077$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$5x-8-y=0$$

Engadir 8 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$5x-y=8$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-y=8$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$5x=y+8$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+8\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por y+8.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

Substitúe x por \frac{8+y}{5} na outra ecuación, 3x+2y=2.

$$3\left(\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=2$$

Multiplica 3 por \frac{8+y}{5}.

$$\frac{3}{5}y+\frac{24}{5}+2y=2$$

Suma \frac{3y}{5} a 2y.

$$\frac{13}{5}y+\frac{24}{5}=2$$

Resta \frac{24}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{13}{5}y=-\frac{14}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{13}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{14}{13}$$

Substitúe y por -\frac{14}{13} en x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{5}\left(-\frac{14}{13}\right)+\frac{8}{5}$$

Multiplica \frac{1}{5} por -\frac{14}{13} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{14}{65}+\frac{8}{5}$$

Suma \frac{8}{5} a -\frac{14}{65} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{18}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$5x-8-y=0$$

Engadir 8 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$5x-y=8$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{5\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 8+\frac{1}{13}\times 2\\-\frac{3}{13}\times 8+\frac{5}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\\-\frac{14}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$5x-8-y=0$$

Engadir 8 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$5x-y=8$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

Para que 5x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 2$$

Simplifica.

$$15x-3y=24,15x+10y=10$$

Resta 15x+10y=10 de 15x-3y=24 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x-3y-10y=24-10$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y-10y=24-10$$

Suma -3y a -10y.

$$-13y=24-10$$

Suma 24 a -10.

$$-13y=14$$

Divide ambos lados entre -13.

$$y=-\frac{14}{13}$$

Substitúe y por -\frac{14}{13} en 3x+2y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+2\left(-\frac{14}{13}\right)=2$$

Multiplica 2 por -\frac{14}{13}.

$$3x-\frac{28}{13}=2$$

Suma \frac{28}{13} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{54}{13}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{18}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$