Resolver {l}{5x-7y=4}{-x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = 4 } \\ { - x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

$$y = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-7y=4$$

Suma 7y en ambos lados da ecuación.

$$5x=7y+4$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(7y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 7y+4.

$$x=\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}$$

Substitúe x por \frac{7y+4}{5} na outra ecuación, -x+2y=-3.

$$-\left(\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}\right)+2y=-3$$

Multiplica -1 por \frac{7y+4}{5}.

$$-\frac{7}{5}y-\frac{4}{5}+2y=-3$$

Suma -\frac{7y}{5} a 2y.

$$\frac{3}{5}y-\frac{4}{5}=-3$$

Suma \frac{4}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{3}{5}y=-\frac{11}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{3}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{11}{3}$$

Substitúe y por -\frac{11}{3} en x=\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{7}{5}\left(-\frac{11}{3}\right)+\frac{4}{5}$$

Multiplica \frac{7}{5} por -\frac{11}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{77}{15}+\frac{4}{5}$$

Suma \frac{4}{5} a -\frac{77}{15} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{13}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}&-\frac{-7}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 4+\frac{7}{3}\left(-3\right)\\\frac{1}{3}\times 4+\frac{5}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{3}\\-\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

Para que 5x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$-5x-\left(-7y\right)=-4,5\left(-1\right)x+5\times 2y=5\left(-3\right)$$

Simplifica.

$$-5x+7y=-4,-5x+10y=-15$$

Resta -5x+10y=-15 de -5x+7y=-4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-5x+5x+7y-10y=-4+15$$

Suma -5x a 5x. -5x e 5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$7y-10y=-4+15$$

Suma 7y a -10y.

$$-3y=-4+15$$

Suma -4 a 15.

$$-3y=11$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=-\frac{11}{3}$$

Substitúe y por -\frac{11}{3} en -x+2y=-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x+2\left(-\frac{11}{3}\right)=-3$$

Multiplica 2 por -\frac{11}{3}.

$$-x-\frac{22}{3}=-3$$

Suma \frac{22}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-x=\frac{13}{3}$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\frac{13}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$