Resolver {l}{5x-6y=4}{3x+7y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 4 } \\ { 3 x + 7 y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{76}{53} = 1\frac{23}{53} \approx 1.433962264$$

$$y=\frac{28}{53}\approx 0.528301887$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-6y=4$$

Suma 6y en ambos lados da ecuación.

$$5x=6y+4$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 6y+4.

$$x=\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}$$

Substitúe x por \frac{6y+4}{5} na outra ecuación, 3x+7y=8.

$$3\left(\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}\right)+7y=8$$

Multiplica 3 por \frac{6y+4}{5}.

$$\frac{18}{5}y+\frac{12}{5}+7y=8$$

Suma \frac{18y}{5} a 7y.

$$\frac{53}{5}y+\frac{12}{5}=8$$

Resta \frac{12}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{53}{5}y=\frac{28}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{53}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{28}{53}$$

Substitúe y por \frac{28}{53} en x=\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{6}{5}\times \frac{28}{53}+\frac{4}{5}$$

Multiplica \frac{6}{5} por \frac{28}{53} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{168}{265}+\frac{4}{5}$$

Suma \frac{4}{5} a \frac{168}{265} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{76}{53}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{6}{53}\\-\frac{3}{53}&\frac{5}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}\times 4+\frac{6}{53}\times 8\\-\frac{3}{53}\times 4+\frac{5}{53}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{53}\\\frac{28}{53}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

Para que 5x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\times 4,5\times 3x+5\times 7y=5\times 8$$

Simplifica.

$$15x-18y=12,15x+35y=40$$

Resta 15x+35y=40 de 15x-18y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x-18y-35y=12-40$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-18y-35y=12-40$$

Suma -18y a -35y.

$$-53y=12-40$$

Suma 12 a -40.

$$-53y=-28$$

Divide ambos lados entre -53.

$$y=\frac{28}{53}$$

Substitúe y por \frac{28}{53} en 3x+7y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+7\times \frac{28}{53}=8$$

Multiplica 7 por \frac{28}{53}.

$$3x+\frac{196}{53}=8$$

Resta \frac{196}{53} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{228}{53}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{76}{53}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$