Resolver {l}{5x-6y=10}{2x+7y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 10 } \\ { 2 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{88}{47} = 1\frac{41}{47} \approx 1.872340426$$

$$y=-\frac{5}{47}\approx -0.106382979$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-6y=10$$

Suma 6y en ambos lados da ecuación.

$$5x=6y+10$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 6y+10.

$$x=\frac{6}{5}y+2$$

Substitúe x por \frac{6y}{5}+2 na outra ecuación, 2x+7y=3.

$$2\left(\frac{6}{5}y+2\right)+7y=3$$

Multiplica 2 por \frac{6y}{5}+2.

$$\frac{12}{5}y+4+7y=3$$

Suma \frac{12y}{5} a 7y.

$$\frac{47}{5}y+4=3$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{47}{5}y=-1$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{47}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{5}{47}$$

Substitúe y por -\frac{5}{47} en x=\frac{6}{5}y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{6}{5}\left(-\frac{5}{47}\right)+2$$

Multiplica \frac{6}{5} por -\frac{5}{47} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{6}{47}+2$$

Suma 2 a -\frac{6}{47}.

$$x=\frac{88}{47}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{6}{47}\\-\frac{2}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 10+\frac{6}{47}\times 3\\-\frac{2}{47}\times 10+\frac{5}{47}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{88}{47}\\-\frac{5}{47}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

Para que 5x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$2\times 5x+2\left(-6\right)y=2\times 10,5\times 2x+5\times 7y=5\times 3$$

Simplifica.

$$10x-12y=20,10x+35y=15$$

Resta 10x+35y=15 de 10x-12y=20 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x-12y-35y=20-15$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-12y-35y=20-15$$

Suma -12y a -35y.

$$-47y=20-15$$

Suma 20 a -15.

$$-47y=5$$

Divide ambos lados entre -47.

$$y=-\frac{5}{47}$$

Substitúe y por -\frac{5}{47} en 2x+7y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+7\left(-\frac{5}{47}\right)=3$$

Multiplica 7 por -\frac{5}{47}.

$$2x-\frac{35}{47}=3$$

Suma \frac{35}{47} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{176}{47}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{88}{47}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$