Resolver {l}{5x-6y=-7}{x-y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = - 7 } \\ { x - y = - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-6y=-7,x-y=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-6y=-7$$

Suma 6y en ambos lados da ecuación.

$$5x=6y-7$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-7\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 6y-7.

$$x=\frac{6}{5}y-\frac{7}{5}$$

Substitúe x por \frac{6y-7}{5} na outra ecuación, x-y=-1.

$$\frac{6}{5}y-\frac{7}{5}-y=-1$$

Suma \frac{6y}{5} a -y.

$$\frac{1}{5}y-\frac{7}{5}=-1$$

Suma \frac{7}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{5}y=\frac{2}{5}$$

Multiplica ambos lados por 5.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=\frac{6}{5}y-\frac{7}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{6}{5}\times 2-\frac{7}{5}$$

Multiplica \frac{6}{5} por 2.

$$x=\frac{12-7}{5}$$

Suma -\frac{7}{5} a \frac{12}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-6y=-7,x-y=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-6\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{5\left(-1\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-6\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-7\right)+6\left(-1\right)\\-\left(-7\right)+5\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-6y=-7,x-y=-1$$

Para que 5x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$5x-6y=-7,5x+5\left(-1\right)y=5\left(-1\right)$$

Simplifica.

$$5x-6y=-7,5x-5y=-5$$

Resta 5x-5y=-5 de 5x-6y=-7 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-5x-6y+5y=-7+5$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6y+5y=-7+5$$

Suma -6y a 5y.

$$-y=-7+5$$

Suma -7 a 5.

$$-y=-2$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x-y=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-2=-1$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=2$$