Resolver {l}{5x-6y=-25}{4x-3y+20=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = - 25 } \\ { 4 x - 3 y + 20 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-5$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-6y=-25,4x-3y+20=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-6y=-25$$

Suma 6y en ambos lados da ecuación.

$$5x=6y-25$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-25\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 6y-25.

$$x=\frac{6}{5}y-5$$

Substitúe x por \frac{6y}{5}-5 na outra ecuación, 4x-3y+20=0.

$$4\left(\frac{6}{5}y-5\right)-3y+20=0$$

Multiplica 4 por \frac{6y}{5}-5.

$$\frac{24}{5}y-20-3y+20=0$$

Suma \frac{24y}{5} a -3y.

$$\frac{9}{5}y-20+20=0$$

Suma -20 a 20.

$$\frac{9}{5}y=0$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{9}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=\frac{6}{5}y-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-6y=-25,4x-3y+20=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{4}{9}&\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-25\right)+\frac{2}{3}\left(-20\right)\\-\frac{4}{9}\left(-25\right)+\frac{5}{9}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-5,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-6y=-25,4x-3y+20=0$$

Para que 5x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$4\times 5x+4\left(-6\right)y=4\left(-25\right),5\times 4x+5\left(-3\right)y+5\times 20=0$$

Simplifica.

$$20x-24y=-100,20x-15y+100=0$$

Resta 20x-15y+100=0 de 20x-24y=-100 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$20x-20x-24y+15y-100=-100$$

Suma 20x a -20x. 20x e -20x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-24y+15y-100=-100$$

Suma -24y a 15y.

$$-9y-100=-100$$

Suma 100 en ambos lados da ecuación.

$$-9y=0$$

Divide ambos lados entre -9.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en 4x-3y+20=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+20=0$$

Resta 20 en ambos lados da ecuación.

$$4x=-20$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=0$$