Resolver {l}{5x-5y=5}{-6x+5y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 5 y = 5 } \\ { - 6 x + 5 y = - 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-5y=5,-6x+5y=-6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-5y=5$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$5x=5y+5$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(5y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 5+5y.

$$x=y+1$$

Substitúe x por y+1 na outra ecuación, -6x+5y=-6.

$$-6\left(y+1\right)+5y=-6$$

Multiplica -6 por y+1.

$$-6y-6+5y=-6$$

Suma -6y a 5y.

$$-y-6=-6$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$-y=0$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-5y=5,-6x+5y=-6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-5\left(-6\right)\right)}&-\frac{-5}{5\times 5-\left(-5\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 5-\left(-5\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-5\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\-\frac{6}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-\left(-6\right)\\-\frac{6}{5}\times 5-\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-5y=5,-6x+5y=-6$$

Para que 5x e -6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -6 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$-6\times 5x-6\left(-5\right)y=-6\times 5,5\left(-6\right)x+5\times 5y=5\left(-6\right)$$

Simplifica.

$$-30x+30y=-30,-30x+25y=-30$$

Resta -30x+25y=-30 de -30x+30y=-30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-30x+30x+30y-25y=-30+30$$

Suma -30x a 30x. -30x e 30x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$30y-25y=-30+30$$

Suma 30y a -25y.

$$5y=-30+30$$

Suma -30 a 30.

$$5y=0$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en -6x+5y=-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-6x=-6$$

Divide ambos lados entre -6.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=0$$