Resolver {l}{5x-4y=19}{x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 } \\ { x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{33}{7} = 4\frac{5}{7} \approx 4.714285714$$

$$y = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7} \approx 1.142857143$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-4y=19$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$5x=4y+19$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+19\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 4y+19.

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}$$

Substitúe x por \frac{4y+19}{5} na outra ecuación, x+2y=7.

$$\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}+2y=7$$

Suma \frac{4y}{5} a 2y.

$$\frac{14}{5}y+\frac{19}{5}=7$$

Resta \frac{19}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{14}{5}y=\frac{16}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{14}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{8}{7}$$

Substitúe y por \frac{8}{7} en x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{8}{7}+\frac{19}{5}$$

Multiplica \frac{4}{5} por \frac{8}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{32}{35}+\frac{19}{5}$$

Suma \frac{19}{5} a \frac{32}{35} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{33}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{5\times 2-\left(-4\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 19+\frac{2}{7}\times 7\\-\frac{1}{14}\times 19+\frac{5}{14}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{7}\\\frac{8}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

Para que 5x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$5x-4y=19,5x+5\times 2y=5\times 7$$

Simplifica.

$$5x-4y=19,5x+10y=35$$

Resta 5x+10y=35 de 5x-4y=19 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-5x-4y-10y=19-35$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y-10y=19-35$$

Suma -4y a -10y.

$$-14y=19-35$$

Suma 19 a -35.

$$-14y=-16$$

Divide ambos lados entre -14.

$$y=\frac{8}{7}$$

Substitúe y por \frac{8}{7} en x+2y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+2\times \frac{8}{7}=7$$

Multiplica 2 por \frac{8}{7}.

$$x+\frac{16}{7}=7$$

Resta \frac{16}{7} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{33}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$