Resolver {l}{5x-3y-4=34}{5y-3x-18=34}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 4 = 34 } \\ { 5 y - 3 x - 18 = 34 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{173}{8} = 21\frac{5}{8} = 21.625$$

$$y = \frac{187}{8} = 23\frac{3}{8} = 23.375$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-3y-4=34$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$5x-3y=38$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$5x=3y+38$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+38\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 3y+38.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}$$

Substitúe x por \frac{3y+38}{5} na outra ecuación, -3x+5y-18=34.

$$-3\left(\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}\right)+5y-18=34$$

Multiplica -3 por \frac{3y+38}{5}.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{114}{5}+5y-18=34$$

Suma -\frac{9y}{5} a 5y.

$$\frac{16}{5}y-\frac{114}{5}-18=34$$

Suma -\frac{114}{5} a -18.

$$\frac{16}{5}y-\frac{204}{5}=34$$

Suma \frac{204}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{16}{5}y=\frac{374}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{16}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{187}{8}$$

Substitúe y por \frac{187}{8} en x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{187}{8}+\frac{38}{5}$$

Multiplica \frac{3}{5} por \frac{187}{8} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{561}{40}+\frac{38}{5}$$

Suma \frac{38}{5} a \frac{561}{40} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{173}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 38+\frac{3}{16}\times 52\\\frac{3}{16}\times 38+\frac{5}{16}\times 52\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{173}{8}\\\frac{187}{8}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Para que 5x e -3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$-3\times 5x-3\left(-3\right)y-3\left(-4\right)=-3\times 34,5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\left(-18\right)=5\times 34$$

Simplifica.

$$-15x+9y+12=-102,-15x+25y-90=170$$

Resta -15x+25y-90=170 de -15x+9y+12=-102 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-15x+15x+9y-25y+12+90=-102-170$$

Suma -15x a 15x. -15x e 15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9y-25y+12+90=-102-170$$

Suma 9y a -25y.

$$-16y+12+90=-102-170$$

Suma 12 a 90.

$$-16y+102=-102-170$$

Suma -102 a -170.

$$-16y+102=-272$$

Resta 102 en ambos lados da ecuación.

$$-16y=-374$$

Divide ambos lados entre -16.

$$y=\frac{187}{8}$$

Substitúe y por \frac{187}{8} en -3x+5y-18=34. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-3x+5\times \frac{187}{8}-18=34$$

Multiplica 5 por \frac{187}{8}.

$$-3x+\frac{935}{8}-18=34$$

Suma \frac{935}{8} a -18.

$$-3x+\frac{791}{8}=34$$

Resta \frac{791}{8} en ambos lados da ecuación.

$$-3x=-\frac{519}{8}$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=\frac{173}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$