Resolver {l}{5x-3y-2=0}{4x+7y+3=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 2 = 0 } \\ { 4 x + 7 y + 3 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{5}{47}\approx 0.106382979$$

$$y=-\frac{23}{47}\approx -0.489361702$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-3y-2=0$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$5x-3y=2$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$5x=3y+2$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 3y+2.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Substitúe x por \frac{3y+2}{5} na outra ecuación, 4x+7y+3=0.

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+7y+3=0$$

Multiplica 4 por \frac{3y+2}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{8}{5}+7y+3=0$$

Suma \frac{12y}{5} a 7y.

$$\frac{47}{5}y+\frac{8}{5}+3=0$$

Suma \frac{8}{5} a 3.

$$\frac{47}{5}y+\frac{23}{5}=0$$

Resta \frac{23}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{47}{5}y=-\frac{23}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{47}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{23}{47}$$

Substitúe y por -\frac{23}{47} en x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{23}{47}\right)+\frac{2}{5}$$

Multiplica \frac{3}{5} por -\frac{23}{47} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{69}{235}+\frac{2}{5}$$

Suma \frac{2}{5} a -\frac{69}{235} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{5}{47}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{3}{47}\\-\frac{4}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 2+\frac{3}{47}\left(-3\right)\\-\frac{4}{47}\times 2+\frac{5}{47}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{47}\\-\frac{23}{47}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

Para que 5x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y+4\left(-2\right)=0,5\times 4x+5\times 7y+5\times 3=0$$

Simplifica.

$$20x-12y-8=0,20x+35y+15=0$$

Resta 20x+35y+15=0 de 20x-12y-8=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$20x-20x-12y-35y-8-15=0$$

Suma 20x a -20x. 20x e -20x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-12y-35y-8-15=0$$

Suma -12y a -35y.

$$-47y-8-15=0$$

Suma -8 a -15.

$$-47y-23=0$$

Suma 23 en ambos lados da ecuación.

$$-47y=23$$

Divide ambos lados entre -47.

$$y=-\frac{23}{47}$$

Substitúe y por -\frac{23}{47} en 4x+7y+3=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+7\left(-\frac{23}{47}\right)+3=0$$

Multiplica 7 por -\frac{23}{47}.

$$4x-\frac{161}{47}+3=0$$

Suma -\frac{161}{47} a 3.

$$4x-\frac{20}{47}=0$$

Suma \frac{20}{47} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{20}{47}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{5}{47}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$