Resolver {l}{5x-3y=2}{6x+2y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 2 } \\ { 6 x + 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{11}{28}\approx -0.392857143$$

$$y = -\frac{37}{28} = -1\frac{9}{28} \approx -1.321428571$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-3y=2$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$5x=3y+2$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 3y+2.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Substitúe x por \frac{3y+2}{5} na outra ecuación, 6x+2y=-5.

$$6\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+2y=-5$$

Multiplica 6 por \frac{3y+2}{5}.

$$\frac{18}{5}y+\frac{12}{5}+2y=-5$$

Suma \frac{18y}{5} a 2y.

$$\frac{28}{5}y+\frac{12}{5}=-5$$

Resta \frac{12}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{28}{5}y=-\frac{37}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{28}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{37}{28}$$

Substitúe y por -\frac{37}{28} en x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{37}{28}\right)+\frac{2}{5}$$

Multiplica \frac{3}{5} por -\frac{37}{28} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{111}{140}+\frac{2}{5}$$

Suma \frac{2}{5} a -\frac{111}{140} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{11}{28}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{28}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 2+\frac{3}{28}\left(-5\right)\\-\frac{3}{14}\times 2+\frac{5}{28}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{28}\\-\frac{37}{28}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

Para que 5x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 2,5\times 6x+5\times 2y=5\left(-5\right)$$

Simplifica.

$$30x-18y=12,30x+10y=-25$$

Resta 30x+10y=-25 de 30x-18y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$30x-30x-18y-10y=12+25$$

Suma 30x a -30x. 30x e -30x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-18y-10y=12+25$$

Suma -18y a -10y.

$$-28y=12+25$$

Suma 12 a 25.

$$-28y=37$$

Divide ambos lados entre -28.

$$y=-\frac{37}{28}$$

Substitúe y por -\frac{37}{28} en 6x+2y=-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x+2\left(-\frac{37}{28}\right)=-5$$

Multiplica 2 por -\frac{37}{28}.

$$6x-\frac{37}{14}=-5$$

Suma \frac{37}{14} en ambos lados da ecuación.

$$6x=-\frac{33}{14}$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=-\frac{11}{28}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$