Resolver {l}{5x-2y=10}{x+y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 10 } \\ { x + y = 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-2y=10,x+y=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-2y=10$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$5x=2y+10$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 10+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+2$$

Substitúe x por \frac{2y}{5}+2 na outra ecuación, x+y=9.

$$\frac{2}{5}y+2+y=9$$

Suma \frac{2y}{5} a y.

$$\frac{7}{5}y+2=9$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{5}y=7$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=\frac{2}{5}y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{5}\times 5+2$$

Multiplica \frac{2}{5} por 5.

$$x=2+2$$

Suma 2 a 2.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-2y=10,x+y=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5-\left(-2\right)}&\frac{5}{5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 10+\frac{2}{7}\times 9\\-\frac{1}{7}\times 10+\frac{5}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-2y=10,x+y=9$$

Para que 5x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$5x-2y=10,5x+5y=5\times 9$$

Simplifica.

$$5x-2y=10,5x+5y=45$$

Resta 5x+5y=45 de 5x-2y=10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-5x-2y-5y=10-45$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y-5y=10-45$$

Suma -2y a -5y.

$$-7y=10-45$$

Suma 10 a -45.

$$-7y=-35$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x+y=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+5=9$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=5$$