Resolver {l}{5x-2y=0}{2x+4y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 0 } \\ { 2 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{6}\approx 0.166666667$$

$$y=\frac{5}{12}\approx 0.416666667$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-2y=0,2x+4y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-2y=0$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$5x=2y$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\times 2y$$

Multiplica \frac{1}{5} por 2y.

$$x=\frac{2}{5}y$$

Substitúe x por \frac{2y}{5} na outra ecuación, 2x+4y=2.

$$2\times \frac{2}{5}y+4y=2$$

Multiplica 2 por \frac{2y}{5}.

$$\frac{4}{5}y+4y=2$$

Suma \frac{4y}{5} a 4y.

$$\frac{24}{5}y=2$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{24}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{5}{12}$$

Substitúe y por \frac{5}{12} en x=\frac{2}{5}y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{5}{12}$$

Multiplica \frac{2}{5} por \frac{5}{12} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{6},y=\frac{5}{12}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-2y=0,2x+4y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-2\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{5\times 4-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 4-\left(-2\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\\-\frac{1}{12}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 2\\\frac{5}{24}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\\\frac{5}{12}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{6},y=\frac{5}{12}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-2y=0,2x+4y=2$$

Para que 5x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$2\times 5x+2\left(-2\right)y=0,5\times 2x+5\times 4y=5\times 2$$

Simplifica.

$$10x-4y=0,10x+20y=10$$

Resta 10x+20y=10 de 10x-4y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x-4y-20y=-10$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y-20y=-10$$

Suma -4y a -20y.

$$-24y=-10$$

Divide ambos lados entre -24.

$$y=\frac{5}{12}$$

Substitúe y por \frac{5}{12} en 2x+4y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+4\times \frac{5}{12}=2$$

Multiplica 4 por \frac{5}{12}.

$$2x+\frac{5}{3}=2$$

Resta \frac{5}{3} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{1}{3}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{6},y=\frac{5}{12}$$