Resolver {l}{5x=7z}{8x=9z}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 7 z } \\ { 8 x = 9 z } \end{array} \right.$$

Resolver x, z

$$x=0$$

$$z=0$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 7z en ambos lados.

$$5x-7z=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 9z en ambos lados.

$$8x-9z=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-7z=0$$

Suma 7z en ambos lados da ecuación.

$$5x=7z$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\times 7z$$

Multiplica \frac{1}{5} por 7z.

$$x=\frac{7}{5}z$$

Substitúe x por \frac{7z}{5} na outra ecuación, 8x-9z=0.

$$8\times \frac{7}{5}z-9z=0$$

Multiplica 8 por \frac{7z}{5}.

$$\frac{56}{5}z-9z=0$$

Suma \frac{56z}{5} a -9z.

$$\frac{11}{5}z=0$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{11}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$z=0$$

Substitúe z por 0 en x=\frac{7}{5}z. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,z=0$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 7z en ambos lados.

$$5x-7z=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 9z en ambos lados.

$$8x-9z=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&-\frac{-7}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\\-\frac{8}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&\frac{5}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{11}&\frac{7}{11}\\-\frac{8}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e z.

$$x=0,z=0$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 7z en ambos lados.

$$5x-7z=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 9z en ambos lados.

$$8x-9z=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

Para que 5x e 8x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 8 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$8\times 5x+8\left(-7\right)z=0,5\times 8x+5\left(-9\right)z=0$$

Simplifica.

$$40x-56z=0,40x-45z=0$$

Resta 40x-45z=0 de 40x-56z=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$40x-40x-56z+45z=0$$

Suma 40x a -40x. 40x e -40x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-56z+45z=0$$

Suma -56z a 45z.

$$-11z=0$$

Divide ambos lados entre -11.

$$z=0$$

Substitúe z por 0 en 8x-9z=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$8x=0$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,z=0$$