Resolver {l}{5x=2y+16}{7x=32-2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 2 y + 16 } \\ { 7 x = 32 - 2 y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$5x-2y=16$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 2y en ambos lados.

$$7x+2y=32$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-2y=16$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$5x=2y+16$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+16\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 16+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

Substitúe x por \frac{16+2y}{5} na outra ecuación, 7x+2y=32.

$$7\left(\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}\right)+2y=32$$

Multiplica 7 por \frac{16+2y}{5}.

$$\frac{14}{5}y+\frac{112}{5}+2y=32$$

Suma \frac{14y}{5} a 2y.

$$\frac{24}{5}y+\frac{112}{5}=32$$

Resta \frac{112}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{24}{5}y=\frac{48}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{24}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{16}{5}$$

Multiplica \frac{2}{5} por 2.

$$x=\frac{4+16}{5}$$

Suma \frac{16}{5} a \frac{4}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$5x-2y=16$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 2y en ambos lados.

$$7x+2y=32$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{7}{24}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 32\\-\frac{7}{24}\times 16+\frac{5}{24}\times 32\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$5x-2y=16$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 2y en ambos lados.

$$7x+2y=32$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

Para que 5x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\times 16,5\times 7x+5\times 2y=5\times 32$$

Simplifica.

$$35x-14y=112,35x+10y=160$$

Resta 35x+10y=160 de 35x-14y=112 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$35x-35x-14y-10y=112-160$$

Suma 35x a -35x. 35x e -35x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-14y-10y=112-160$$

Suma -14y a -10y.

$$-24y=112-160$$

Suma 112 a -160.

$$-24y=-48$$

Divide ambos lados entre -24.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 7x+2y=32. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x+2\times 2=32$$

Multiplica 2 por 2.

$$7x+4=32$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$7x=28$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=2$$