Resolver {l}{5x+y=19}{2x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 19 } \\ { 2 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=6$$

$$y=-11$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+y=19$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-y+19$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+19\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -y+19.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}$$

Substitúe x por \frac{-y+19}{5} na outra ecuación, 2x+y=1.

$$2\left(-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}\right)+y=1$$

Multiplica 2 por \frac{-y+19}{5}.

$$-\frac{2}{5}y+\frac{38}{5}+y=1$$

Suma -\frac{2y}{5} a y.

$$\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}=1$$

Resta \frac{38}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{3}{5}y=-\frac{33}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{3}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-11$$

Substitúe y por -11 en x=-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-11\right)+\frac{19}{5}$$

Multiplica -\frac{1}{5} por -11.

$$x=\frac{11+19}{5}$$

Suma \frac{19}{5} a \frac{11}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=-11$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2}&-\frac{1}{5-2}\\-\frac{2}{5-2}&\frac{5}{5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 19-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\times 19+\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-11\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=6,y=-11$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

Resta 2x+y=1 de 5x+y=19 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-2x+y-y=19-1$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5x-2x=19-1$$

Suma 5x a -2x.

$$3x=19-1$$

Suma 19 a -1.

$$3x=18$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=6$$

Substitúe x por 6 en 2x+y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2\times 6+y=1$$

Multiplica 2 por 6.

$$12+y=1$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$y=-11$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=-11$$