Resolver {l}{5x+y=-1}{2x+5y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = - 1 } \\ { 2 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{12}{23}\approx -0.52173913$$

$$y = \frac{37}{23} = 1\frac{14}{23} \approx 1.608695652$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+y=-1$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-y-1$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y-1\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -y-1.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}$$

Substitúe x por \frac{-y-1}{5} na outra ecuación, 2x+5y=7.

$$2\left(-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}\right)+5y=7$$

Multiplica 2 por \frac{-y-1}{5}.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{2}{5}+5y=7$$

Suma -\frac{2y}{5} a 5y.

$$\frac{23}{5}y-\frac{2}{5}=7$$

Suma \frac{2}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{23}{5}y=\frac{37}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{23}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{37}{23}$$

Substitúe y por \frac{37}{23} en x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{37}{23}-\frac{1}{5}$$

Multiplica -\frac{1}{5} por \frac{37}{23} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{37}{115}-\frac{1}{5}$$

Suma -\frac{1}{5} a -\frac{37}{115} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{12}{23}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2}&-\frac{1}{5\times 5-2}\\-\frac{2}{5\times 5-2}&\frac{5}{5\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&-\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\left(-1\right)-\frac{1}{23}\times 7\\-\frac{2}{23}\left(-1\right)+\frac{5}{23}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{23}\\\frac{37}{23}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

Para que 5x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$2\times 5x+2y=2\left(-1\right),5\times 2x+5\times 5y=5\times 7$$

Simplifica.

$$10x+2y=-2,10x+25y=35$$

Resta 10x+25y=35 de 10x+2y=-2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x+2y-25y=-2-35$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-25y=-2-35$$

Suma 2y a -25y.

$$-23y=-2-35$$

Suma -2 a -35.

$$-23y=-37$$

Divide ambos lados entre -23.

$$y=\frac{37}{23}$$

Substitúe y por \frac{37}{23} en 2x+5y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+5\times \frac{37}{23}=7$$

Multiplica 5 por \frac{37}{23}.

$$2x+\frac{185}{23}=7$$

Resta \frac{185}{23} en ambos lados da ecuación.

$$2x=-\frac{24}{23}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-\frac{12}{23}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$