Resolver {l}{5x+6y=19}{x-y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = 19 } \\ { x - y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{37}{11} = 3\frac{4}{11} \approx 3.363636364$$

$$y=\frac{4}{11}\approx 0.363636364$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+6y=19,x-y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+6y=19$$

Resta 6y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-6y+19$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+19\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -6y+19.

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{19}{5}$$

Substitúe x por \frac{-6y+19}{5} na outra ecuación, x-y=3.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{19}{5}-y=3$$

Suma -\frac{6y}{5} a -y.

$$-\frac{11}{5}y+\frac{19}{5}=3$$

Resta \frac{19}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{11}{5}y=-\frac{4}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{11}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{4}{11}$$

Substitúe y por \frac{4}{11} en x=-\frac{6}{5}y+\frac{19}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{6}{5}\times \frac{4}{11}+\frac{19}{5}$$

Multiplica -\frac{6}{5} por \frac{4}{11} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{24}{55}+\frac{19}{5}$$

Suma \frac{19}{5} a -\frac{24}{55} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{37}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{37}{11},y=\frac{4}{11}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+6y=19,x-y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-6}&-\frac{6}{5\left(-1\right)-6}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-6}&\frac{5}{5\left(-1\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{6}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 19+\frac{6}{11}\times 3\\\frac{1}{11}\times 19-\frac{5}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{37}{11}\\\frac{4}{11}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{37}{11},y=\frac{4}{11}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+6y=19,x-y=3$$

Para que 5x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$5x+6y=19,5x+5\left(-1\right)y=5\times 3$$

Simplifica.

$$5x+6y=19,5x-5y=15$$

Resta 5x-5y=15 de 5x+6y=19 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-5x+6y+5y=19-15$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y+5y=19-15$$

Suma 6y a 5y.

$$11y=19-15$$

Suma 19 a -15.

$$11y=4$$

Divide ambos lados entre 11.

$$y=\frac{4}{11}$$

Substitúe y por \frac{4}{11} en x-y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-\frac{4}{11}=3$$

Suma \frac{4}{11} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{37}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{37}{11},y=\frac{4}{11}$$