Resolver {l}{5x+6y=1}{5x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = 1 } \\ { 5 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{5}=0.2$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+6y=1,5x+y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+6y=1$$

Resta 6y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-6y+1$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -6y+1.

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{1}{5}$$

Substitúe x por \frac{-6y+1}{5} na outra ecuación, 5x+y=1.

$$5\left(-\frac{6}{5}y+\frac{1}{5}\right)+y=1$$

Multiplica 5 por \frac{-6y+1}{5}.

$$-6y+1+y=1$$

Suma -6y a y.

$$-5y+1=1$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$-5y=0$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=-\frac{6}{5}y+\frac{1}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{5},y=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+6y=1,5x+y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-6\times 5}&-\frac{6}{5-6\times 5}\\-\frac{5}{5-6\times 5}&\frac{5}{5-6\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}&\frac{6}{25}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-1+6}{25}\\\frac{1-1}{5}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{5},y=0$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+6y=1,5x+y=1$$

Resta 5x+y=1 de 5x+6y=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-5x+6y-y=1-1$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y-y=1-1$$

Suma 6y a -y.

$$5y=1-1$$

Suma 1 a -1.

$$5y=0$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en 5x+y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x=1$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{5},y=0$$