Resolver {l}{5x+6y=-3}{3x+7y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = - 3 } \\ { 3 x + 7 y = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+6y=-3,3x+7y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+6y=-3$$

Resta 6y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-6y-3$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y-3\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -6y-3.

$$x=-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}$$

Substitúe x por \frac{-6y-3}{5} na outra ecuación, 3x+7y=5.

$$3\left(-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}\right)+7y=5$$

Multiplica 3 por \frac{-6y-3}{5}.

$$-\frac{18}{5}y-\frac{9}{5}+7y=5$$

Suma -\frac{18y}{5} a 7y.

$$\frac{17}{5}y-\frac{9}{5}=5$$

Suma \frac{9}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{17}{5}y=\frac{34}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{17}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{6}{5}\times 2-\frac{3}{5}$$

Multiplica -\frac{6}{5} por 2.

$$x=\frac{-12-3}{5}$$

Suma -\frac{3}{5} a -\frac{12}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+6y=-3,3x+7y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-6\times 3}&-\frac{6}{5\times 7-6\times 3}\\-\frac{3}{5\times 7-6\times 3}&\frac{5}{5\times 7-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{17}&-\frac{6}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{17}\left(-3\right)-\frac{6}{17}\times 5\\-\frac{3}{17}\left(-3\right)+\frac{5}{17}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-3,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+6y=-3,3x+7y=5$$

Para que 5x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$3\times 5x+3\times 6y=3\left(-3\right),5\times 3x+5\times 7y=5\times 5$$

Simplifica.

$$15x+18y=-9,15x+35y=25$$

Resta 15x+35y=25 de 15x+18y=-9 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x+18y-35y=-9-25$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$18y-35y=-9-25$$

Suma 18y a -35y.

$$-17y=-9-25$$

Suma -9 a -25.

$$-17y=-34$$

Divide ambos lados entre -17.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 3x+7y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+7\times 2=5$$

Multiplica 7 por 2.

$$3x+14=5$$

Resta 14 en ambos lados da ecuación.

$$3x=-9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=2$$