Resolver {l}{5x+5y=14}{2x+4y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 14 } \\ { 2 x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+5y=14$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-5y+14$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+14\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -5y+14.

$$x=-y+\frac{14}{5}$$

Substitúe x por -y+\frac{14}{5} na outra ecuación, 2x+4y=10.

$$2\left(-y+\frac{14}{5}\right)+4y=10$$

Multiplica 2 por -y+\frac{14}{5}.

$$-2y+\frac{28}{5}+4y=10$$

Suma -2y a 4y.

$$2y+\frac{28}{5}=10$$

Resta \frac{28}{5} en ambos lados da ecuación.

$$2y=\frac{22}{5}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=\frac{11}{5}$$

Substitúe y por \frac{11}{5} en x=-y+\frac{14}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{11}{5}+\frac{14}{5}$$

Multiplica -1 por \frac{11}{5}.

$$x=\frac{-11+14}{5}$$

Suma \frac{14}{5} a -\frac{11}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{3}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-5\times 2}&-\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\\-\frac{2}{5\times 4-5\times 2}&\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 14-\frac{1}{2}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 14+\frac{1}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

Para que 5x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$2\times 5x+2\times 5y=2\times 14,5\times 2x+5\times 4y=5\times 10$$

Simplifica.

$$10x+10y=28,10x+20y=50$$

Resta 10x+20y=50 de 10x+10y=28 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x+10y-20y=28-50$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10y-20y=28-50$$

Suma 10y a -20y.

$$-10y=28-50$$

Suma 28 a -50.

$$-10y=-22$$

Divide ambos lados entre -10.

$$y=\frac{11}{5}$$

Substitúe y por \frac{11}{5} en 2x+4y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+4\times \frac{11}{5}=10$$

Multiplica 4 por \frac{11}{5}.

$$2x+\frac{44}{5}=10$$

Resta \frac{44}{5} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{6}{5}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{3}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$