Resolver {l}{5x+3y-4=34}{5y-3x-18=34}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y - 4 = 34 } \\ { 5 y - 3 x - 18 = 34 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=11$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+3y-4=34$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$5x+3y=38$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-3y+38$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+38\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -3y+38.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}$$

Substitúe x por \frac{-3y+38}{5} na outra ecuación, -3x+5y-18=34.

$$-3\left(-\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}\right)+5y-18=34$$

Multiplica -3 por \frac{-3y+38}{5}.

$$\frac{9}{5}y-\frac{114}{5}+5y-18=34$$

Suma \frac{9y}{5} a 5y.

$$\frac{34}{5}y-\frac{114}{5}-18=34$$

Suma -\frac{114}{5} a -18.

$$\frac{34}{5}y-\frac{204}{5}=34$$

Suma \frac{204}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{34}{5}y=\frac{374}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{34}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=11$$

Substitúe y por 11 en x=-\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{5}\times 11+\frac{38}{5}$$

Multiplica -\frac{3}{5} por 11.

$$x=\frac{-33+38}{5}$$

Suma \frac{38}{5} a -\frac{33}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=11$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{5\times 5-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\times 5-3\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 5-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{34}&-\frac{3}{34}\\\frac{3}{34}&\frac{5}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{34}\times 38-\frac{3}{34}\times 52\\\frac{3}{34}\times 38+\frac{5}{34}\times 52\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=11$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Para que 5x e -3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$-3\times 5x-3\times 3y-3\left(-4\right)=-3\times 34,5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\left(-18\right)=5\times 34$$

Simplifica.

$$-15x-9y+12=-102,-15x+25y-90=170$$

Resta -15x+25y-90=170 de -15x-9y+12=-102 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-15x+15x-9y-25y+12+90=-102-170$$

Suma -15x a 15x. -15x e 15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-9y-25y+12+90=-102-170$$

Suma -9y a -25y.

$$-34y+12+90=-102-170$$

Suma 12 a 90.

$$-34y+102=-102-170$$

Suma -102 a -170.

$$-34y+102=-272$$

Resta 102 en ambos lados da ecuación.

$$-34y=-374$$

Divide ambos lados entre -34.

$$y=11$$

Substitúe y por 11 en -3x+5y-18=34. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-3x+5\times 11-18=34$$

Multiplica 5 por 11.

$$-3x+55-18=34$$

Suma 55 a -18.

$$-3x+37=34$$

Resta 37 en ambos lados da ecuación.

$$-3x=-3$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=11$$