Resolver {l}{5x+3y=7}{y=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 7 } \\ { y = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{4}{11}\approx 0.363636364$$

$$y = \frac{19}{11} = 1\frac{8}{11} \approx 1.727272727$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=1$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+3y=7$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-3y+7$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -3y+7.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}$$

Substitúe x por \frac{-3y+7}{5} na outra ecuación, -2x+y=1.

$$-2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}\right)+y=1$$

Multiplica -2 por \frac{-3y+7}{5}.

$$\frac{6}{5}y-\frac{14}{5}+y=1$$

Suma \frac{6y}{5} a y.

$$\frac{11}{5}y-\frac{14}{5}=1$$

Suma \frac{14}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{11}{5}y=\frac{19}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{11}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{19}{11}$$

Substitúe y por \frac{19}{11} en x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{19}{11}+\frac{7}{5}$$

Multiplica -\frac{3}{5} por \frac{19}{11} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{57}{55}+\frac{7}{5}$$

Suma \frac{7}{5} a -\frac{57}{55} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{4}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=1$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{5-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5-3\left(-2\right)}&\frac{5}{5-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 7-\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}\times 7+\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\\\frac{19}{11}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=1$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

Para que 5x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$-2\times 5x-2\times 3y=-2\times 7,5\left(-2\right)x+5y=5$$

Simplifica.

$$-10x-6y=-14,-10x+5y=5$$

Resta -10x+5y=5 de -10x-6y=-14 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-10x+10x-6y-5y=-14-5$$

Suma -10x a 10x. -10x e 10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6y-5y=-14-5$$

Suma -6y a -5y.

$$-11y=-14-5$$

Suma -14 a -5.

$$-11y=-19$$

Divide ambos lados entre -11.

$$y=\frac{19}{11}$$

Substitúe y por \frac{19}{11} en -2x+y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x+\frac{19}{11}=1$$

Resta \frac{19}{11} en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-\frac{8}{11}$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=\frac{4}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$