Resolver {l}{5x+3y=6}{2x+7y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 6 } \\ { 2 x + 7 y = 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{15}{29}\approx 0.517241379$$

$$y = \frac{33}{29} = 1\frac{4}{29} \approx 1.137931034$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+3y=6$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-3y+6$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -3y+6.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}$$

Substitúe x por \frac{-3y+6}{5} na outra ecuación, 2x+7y=9.

$$2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}\right)+7y=9$$

Multiplica 2 por \frac{-3y+6}{5}.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{12}{5}+7y=9$$

Suma -\frac{6y}{5} a 7y.

$$\frac{29}{5}y+\frac{12}{5}=9$$

Resta \frac{12}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{29}{5}y=\frac{33}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{29}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{33}{29}$$

Substitúe y por \frac{33}{29} en x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{33}{29}+\frac{6}{5}$$

Multiplica -\frac{3}{5} por \frac{33}{29} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{99}{145}+\frac{6}{5}$$

Suma \frac{6}{5} a -\frac{99}{145} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{15}{29}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-3\times 2}&-\frac{3}{5\times 7-3\times 2}\\-\frac{2}{5\times 7-3\times 2}&\frac{5}{5\times 7-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&-\frac{3}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 6-\frac{3}{29}\times 9\\-\frac{2}{29}\times 6+\frac{5}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{29}\\\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

Para que 5x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 6,5\times 2x+5\times 7y=5\times 9$$

Simplifica.

$$10x+6y=12,10x+35y=45$$

Resta 10x+35y=45 de 10x+6y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x+6y-35y=12-45$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y-35y=12-45$$

Suma 6y a -35y.

$$-29y=12-45$$

Suma 12 a -45.

$$-29y=-33$$

Divide ambos lados entre -29.

$$y=\frac{33}{29}$$

Substitúe y por \frac{33}{29} en 2x+7y=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+7\times \frac{33}{29}=9$$

Multiplica 7 por \frac{33}{29}.

$$2x+\frac{231}{29}=9$$

Resta \frac{231}{29} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{30}{29}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{15}{29}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$