Resolver {l}{5x+3y=30}{3x+3y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 30 } \\ { 3 x + 3 y = 18 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=6$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+3y=30,3x+3y=18$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+3y=30$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-3y+30$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+30\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -3y+30.

$$x=-\frac{3}{5}y+6$$

Substitúe x por -\frac{3y}{5}+6 na outra ecuación, 3x+3y=18.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+6\right)+3y=18$$

Multiplica 3 por -\frac{3y}{5}+6.

$$-\frac{9}{5}y+18+3y=18$$

Suma -\frac{9y}{5} a 3y.

$$\frac{6}{5}y+18=18$$

Resta 18 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{6}{5}y=0$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{6}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=-\frac{3}{5}y+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+3y=30,3x+3y=18$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 3-3\times 3}&\frac{5}{5\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 30-\frac{1}{2}\times 18\\-\frac{1}{2}\times 30+\frac{5}{6}\times 18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=6,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+3y=30,3x+3y=18$$

Resta 3x+3y=18 de 5x+3y=30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-3x+3y-3y=30-18$$

Suma 3y a -3y. 3y e -3y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5x-3x=30-18$$

Suma 5x a -3x.

$$2x=30-18$$

Suma 30 a -18.

$$2x=12$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=6$$

Substitúe x por 6 en 3x+3y=18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$3\times 6+3y=18$$

Multiplica 3 por 6.

$$18+3y=18$$

Resta 18 en ambos lados da ecuación.

$$3y=0$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=0$$