Resolver {l}{5x+2y=10}{4x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 10 } \\ { 4 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+2y=10,4x+y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+2y=10$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-2y+10$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -2y+10.

$$x=-\frac{2}{5}y+2$$

Substitúe x por -\frac{2y}{5}+2 na outra ecuación, 4x+y=8.

$$4\left(-\frac{2}{5}y+2\right)+y=8$$

Multiplica 4 por -\frac{2y}{5}+2.

$$-\frac{8}{5}y+8+y=8$$

Suma -\frac{8y}{5} a y.

$$-\frac{3}{5}y+8=8$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{3}{5}y=0$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{3}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=-\frac{2}{5}y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+2y=10,4x+y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2\times 4}&-\frac{2}{5-2\times 4}\\-\frac{4}{5-2\times 4}&\frac{5}{5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 10+\frac{2}{3}\times 8\\\frac{4}{3}\times 10-\frac{5}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+2y=10,4x+y=8$$

Para que 5x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$4\times 5x+4\times 2y=4\times 10,5\times 4x+5y=5\times 8$$

Simplifica.

$$20x+8y=40,20x+5y=40$$

Resta 20x+5y=40 de 20x+8y=40 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$20x-20x+8y-5y=40-40$$

Suma 20x a -20x. 20x e -20x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y-5y=40-40$$

Suma 8y a -5y.

$$3y=40-40$$

Suma 40 a -40.

$$3y=0$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en 4x+y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x=8$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=0$$