Resolver {l}{5x+2y=0}{6x-1y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 0 } \\ { 6 x - 1 y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{4}{17}\approx 0.235294118$$

$$y=-\frac{10}{17}\approx -0.588235294$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+2y=0$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-2y$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2\right)y$$

Multiplica \frac{1}{5} por -2y.

$$x=-\frac{2}{5}y$$

Substitúe x por -\frac{2y}{5} na outra ecuación, 6x-y=2.

$$6\left(-\frac{2}{5}\right)y-y=2$$

Multiplica 6 por -\frac{2y}{5}.

$$-\frac{12}{5}y-y=2$$

Suma -\frac{12y}{5} a -y.

$$-\frac{17}{5}y=2$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{17}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{10}{17}$$

Substitúe y por -\frac{10}{17} en x=-\frac{2}{5}y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{10}{17}\right)$$

Multiplica -\frac{2}{5} por -\frac{10}{17} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{4}{17}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-2\times 6}&-\frac{2}{5\left(-1\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{5\left(-1\right)-2\times 6}&\frac{5}{5\left(-1\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{6}{17}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 2\\-\frac{5}{17}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\\-\frac{10}{17}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

Para que 5x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$6\times 5x+6\times 2y=0,5\times 6x+5\left(-1\right)y=5\times 2$$

Simplifica.

$$30x+12y=0,30x-5y=10$$

Resta 30x-5y=10 de 30x+12y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$30x-30x+12y+5y=-10$$

Suma 30x a -30x. 30x e -30x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12y+5y=-10$$

Suma 12y a 5y.

$$17y=-10$$

Divide ambos lados entre 17.

$$y=-\frac{10}{17}$$

Substitúe y por -\frac{10}{17} en 6x-y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x-\left(-\frac{10}{17}\right)=2$$

Resta \frac{10}{17} en ambos lados da ecuación.

$$6x=\frac{24}{17}$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{4}{17}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$