Resolver {l}{5u+x=-10}{3u+3x=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 u + x = - 10 } \\ { 3 u + 3 x = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver u, x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$u = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a u mediante o illamento de u no lado esquerdo do signo igual.

$$5u+x=-10$$

Resta x en ambos lados da ecuación.

$$5u=-x-10$$

Divide ambos lados entre 5.

$$u=\frac{1}{5}\left(-x-10\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -x-10.

$$u=-\frac{1}{5}x-2$$

Substitúe u por -\frac{x}{5}-2 na outra ecuación, 3u+3x=0.

$$3\left(-\frac{1}{5}x-2\right)+3x=0$$

Multiplica 3 por -\frac{x}{5}-2.

$$-\frac{3}{5}x-6+3x=0$$

Suma -\frac{3x}{5} a 3x.

$$\frac{12}{5}x-6=0$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{12}{5}x=6$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{12}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{5}{2}$$

Substitúe x por \frac{5}{2} en u=-\frac{1}{5}x-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar u directamente.

$$u=-\frac{1}{5}\times \frac{5}{2}-2$$

Multiplica -\frac{1}{5} por \frac{5}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$u=-\frac{1}{2}-2$$

Suma -2 a -\frac{1}{2}.

$$u=-\frac{5}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-3}&-\frac{1}{5\times 3-3}\\-\frac{3}{5\times 3-3}&\frac{5}{5\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)\\-\frac{1}{4}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz u e x.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

Para que 5u e 3u sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$3\times 5u+3x=3\left(-10\right),5\times 3u+5\times 3x=0$$

Simplifica.

$$15u+3x=-30,15u+15x=0$$

Resta 15u+15x=0 de 15u+3x=-30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15u-15u+3x-15x=-30$$

Suma 15u a -15u. 15u e -15u anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3x-15x=-30$$

Suma 3x a -15x.

$$-12x=-30$$

Divide ambos lados entre -12.

$$x=\frac{5}{2}$$

Substitúe x por \frac{5}{2} en 3u+3x=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar u directamente.

$$3u+3\times \frac{5}{2}=0$$

Multiplica 3 por \frac{5}{2}.

$$3u+\frac{15}{2}=0$$

Resta \frac{15}{2} en ambos lados da ecuación.

$$3u=-\frac{15}{2}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$u=-\frac{5}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$