Resolver {l}{5(x+2)=4y}{3(y-4)=6x}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 ( x + 2 ) = 4 y } \\ { 3 ( y - 4 ) = 6 x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por x+2.

$$5x+10=4y$$

Resta 4y en ambos lados.

$$5x+10-4y=0$$

Resta 10 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$5x-4y=-10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por y-4.

$$3y-12=6x$$

Resta 6x en ambos lados.

$$3y-12-6x=0$$

Engadir 12 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$3y-6x=12$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-4y=-10$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$5x=4y-10$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-10\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 4y-10.

$$x=\frac{4}{5}y-2$$

Substitúe x por \frac{4y}{5}-2 na outra ecuación, -6x+3y=12.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-2\right)+3y=12$$

Multiplica -6 por \frac{4y}{5}-2.

$$-\frac{24}{5}y+12+3y=12$$

Suma -\frac{24y}{5} a 3y.

$$-\frac{9}{5}y+12=12$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{9}{5}y=0$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{9}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=\frac{4}{5}y-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=0$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por x+2.

$$5x+10=4y$$

Resta 4y en ambos lados.

$$5x+10-4y=0$$

Resta 10 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$5x-4y=-10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por y-4.

$$3y-12=6x$$

Resta 6x en ambos lados.

$$3y-12-6x=0$$

Engadir 12 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$3y-6x=12$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-10\right)-\frac{4}{9}\times 12\\-\frac{2}{3}\left(-10\right)-\frac{5}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por x+2.

$$5x+10=4y$$

Resta 4y en ambos lados.

$$5x+10-4y=0$$

Resta 10 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$5x-4y=-10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por y-4.

$$3y-12=6x$$

Resta 6x en ambos lados.

$$3y-12-6x=0$$

Engadir 12 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$3y-6x=12$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

Para que 5x e -6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -6 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-10\right),5\left(-6\right)x+5\times 3y=5\times 12$$

Simplifica.

$$-30x+24y=60,-30x+15y=60$$

Resta -30x+15y=60 de -30x+24y=60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-30x+30x+24y-15y=60-60$$

Suma -30x a 30x. -30x e 30x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$24y-15y=60-60$$

Suma 24y a -15y.

$$9y=60-60$$

Suma 60 a -60.

$$9y=0$$

Divide ambos lados entre 9.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en -6x+3y=12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-6x=12$$

Divide ambos lados entre -6.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=0$$