Resolver {l}{45+.25x=y}{35+.30x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { 45 + .25 x = y } \\ { 35 + .30 x = y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=200$$

$$y=95$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$45+0.25x-y=0$$

Resta 45 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$0.25x-y=-45$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$35+0.3x-y=0$$

Resta 35 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$0.3x-y=-35$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$0.25x-y=-45$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$0.25x=y-45$$

Multiplica ambos lados por 4.

$$x=4\left(y-45\right)$$

Multiplica 4 por y-45.

$$x=4y-180$$

Substitúe x por -180+4y na outra ecuación, 0.3x-y=-35.

$$0.3\left(4y-180\right)-y=-35$$

Multiplica 0.3 por -180+4y.

$$1.2y-54-y=-35$$

Suma \frac{6y}{5} a -y.

$$0.2y-54=-35$$

Suma 54 en ambos lados da ecuación.

$$0.2y=19$$

Multiplica ambos lados por 5.

$$y=95$$

Substitúe y por 95 en x=4y-180. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=4\times 95-180$$

Multiplica 4 por 95.

$$x=380-180$$

Suma -180 a 380.

$$x=200$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=200,y=95$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$45+0.25x-y=0$$

Resta 45 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$0.25x-y=-45$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$35+0.3x-y=0$$

Resta 35 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$0.3x-y=-35$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}&-\frac{-1}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}\\-\frac{0.3}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}&\frac{0.25}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20&20\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\left(-45\right)+20\left(-35\right)\\-6\left(-45\right)+5\left(-35\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\95\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=200,y=95$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$45+0.25x-y=0$$

Resta 45 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$0.25x-y=-45$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$35+0.3x-y=0$$

Resta 35 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$0.3x-y=-35$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

Resta 0.3x-y=-35 de 0.25x-y=-45 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$0.25x-0.3x-y+y=-45+35$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$0.25x-0.3x=-45+35$$

Suma \frac{x}{4} a -\frac{3x}{10}.

$$-0.05x=-45+35$$

Suma -45 a 35.

$$-0.05x=-10$$

Multiplica ambos lados por -20.

$$x=200$$

Substitúe x por 200 en 0.3x-y=-35. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$0.3\times 200-y=-35$$

Multiplica 0.3 por 200.

$$60-y=-35$$

Resta 60 en ambos lados da ecuación.

$$-y=-95$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=95$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=200,y=95$$