Resolver {l}{41x+53y=135}{53x+41y=147}

$$\left. \begin{array} { l } { 41 x + 53 y = 135 } \\ { 53 x + 41 y = 147 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$41x+53y=135$$

Resta 53y en ambos lados da ecuación.

$$41x=-53y+135$$

Divide ambos lados entre 41.

$$x=\frac{1}{41}\left(-53y+135\right)$$

Multiplica \frac{1}{41} por -53y+135.

$$x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}$$

Substitúe x por \frac{-53y+135}{41} na outra ecuación, 53x+41y=147.

$$53\left(-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}\right)+41y=147$$

Multiplica 53 por \frac{-53y+135}{41}.

$$-\frac{2809}{41}y+\frac{7155}{41}+41y=147$$

Suma -\frac{2809y}{41} a 41y.

$$-\frac{1128}{41}y+\frac{7155}{41}=147$$

Resta \frac{7155}{41} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1128}{41}y=-\frac{1128}{41}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{1128}{41}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{-53+135}{41}$$

Suma \frac{135}{41} a -\frac{53}{41} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41}{41\times 41-53\times 53}&-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}\\-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}&\frac{41}{41\times 41-53\times 53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}&\frac{53}{1128}\\\frac{53}{1128}&-\frac{41}{1128}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}\times 135+\frac{53}{1128}\times 147\\\frac{53}{1128}\times 135-\frac{41}{1128}\times 147\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

Para que 41x e 53x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 53 e todos os termos a cada lado da segunda por 41.

$$53\times 41x+53\times 53y=53\times 135,41\times 53x+41\times 41y=41\times 147$$

Simplifica.

$$2173x+2809y=7155,2173x+1681y=6027$$

Resta 2173x+1681y=6027 de 2173x+2809y=7155 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2173x-2173x+2809y-1681y=7155-6027$$

Suma 2173x a -2173x. 2173x e -2173x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2809y-1681y=7155-6027$$

Suma 2809y a -1681y.

$$1128y=7155-6027$$

Suma 7155 a -6027.

$$1128y=1128$$

Divide ambos lados entre 1128.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en 53x+41y=147. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$53x+41=147$$

Resta 41 en ambos lados da ecuación.

$$53x=106$$

Divide ambos lados entre 53.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=1$$