Resolver {l}{40x+4y=80}{8x-15y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 4 y = 80 } \\ { 8 x - 15 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{299}{158} = 1\frac{141}{158} \approx 1.892405063$$

$$y = \frac{85}{79} = 1\frac{6}{79} \approx 1.075949367$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$40x+4y=80,8x-15y=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$40x+4y=80$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$40x=-4y+80$$

Divide ambos lados entre 40.

$$x=\frac{1}{40}\left(-4y+80\right)$$

Multiplica \frac{1}{40} por -4y+80.

$$x=-\frac{1}{10}y+2$$

Substitúe x por -\frac{y}{10}+2 na outra ecuación, 8x-15y=-1.

$$8\left(-\frac{1}{10}y+2\right)-15y=-1$$

Multiplica 8 por -\frac{y}{10}+2.

$$-\frac{4}{5}y+16-15y=-1$$

Suma -\frac{4y}{5} a -15y.

$$-\frac{79}{5}y+16=-1$$

Resta 16 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{79}{5}y=-17$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{79}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{85}{79}$$

Substitúe y por \frac{85}{79} en x=-\frac{1}{10}y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{10}\times \frac{85}{79}+2$$

Multiplica -\frac{1}{10} por \frac{85}{79} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{17}{158}+2$$

Suma 2 a -\frac{17}{158}.

$$x=\frac{299}{158}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{299}{158},y=\frac{85}{79}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$40x+4y=80,8x-15y=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{40\left(-15\right)-4\times 8}&-\frac{4}{40\left(-15\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{40\left(-15\right)-4\times 8}&\frac{40}{40\left(-15\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{632}&\frac{1}{158}\\\frac{1}{79}&-\frac{5}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{632}\times 80+\frac{1}{158}\left(-1\right)\\\frac{1}{79}\times 80-\frac{5}{79}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{299}{158}\\\frac{85}{79}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{299}{158},y=\frac{85}{79}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$40x+4y=80,8x-15y=-1$$

Para que 40x e 8x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 8 e todos os termos a cada lado da segunda por 40.

$$8\times 40x+8\times 4y=8\times 80,40\times 8x+40\left(-15\right)y=40\left(-1\right)$$

Simplifica.

$$320x+32y=640,320x-600y=-40$$

Resta 320x-600y=-40 de 320x+32y=640 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$320x-320x+32y+600y=640+40$$

Suma 320x a -320x. 320x e -320x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$32y+600y=640+40$$

Suma 32y a 600y.

$$632y=640+40$$

Suma 640 a 40.

$$632y=680$$

Divide ambos lados entre 632.

$$y=\frac{85}{79}$$

Substitúe y por \frac{85}{79} en 8x-15y=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$8x-15\times \frac{85}{79}=-1$$

Multiplica -15 por \frac{85}{79}.

$$8x-\frac{1275}{79}=-1$$

Suma \frac{1275}{79} en ambos lados da ecuación.

$$8x=\frac{1196}{79}$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=\frac{299}{158}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{299}{158},y=\frac{85}{79}$$