Resolver {l}{40x+30y=500}{60x+15y=60}

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 60 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{19}{4} = -4\frac{3}{4} = -4.75$$

$$y=23$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$40x+30y=500$$

Resta 30y en ambos lados da ecuación.

$$40x=-30y+500$$

Divide ambos lados entre 40.

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

Multiplica \frac{1}{40} por -30y+500.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

Substitúe x por -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} na outra ecuación, 60x+15y=60.

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=60$$

Multiplica 60 por -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2}.

$$-45y+750+15y=60$$

Suma -45y a 15y.

$$-30y+750=60$$

Resta 750 en ambos lados da ecuación.

$$-30y=-690$$

Divide ambos lados entre -30.

$$y=23$$

Substitúe y por 23 en x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{4}\times 23+\frac{25}{2}$$

Multiplica -\frac{3}{4} por 23.

$$x=-\frac{69}{4}+\frac{25}{2}$$

Suma \frac{25}{2} a -\frac{69}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{19}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 60\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 60\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{4}\\23\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

Para que 40x e 60x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 60 e todos os termos a cada lado da segunda por 40.

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 60$$

Simplifica.

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=2400$$

Resta 2400x+600y=2400 de 2400x+1800y=30000 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-2400$$

Suma 2400x a -2400x. 2400x e -2400x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$1800y-600y=30000-2400$$

Suma 1800y a -600y.

$$1200y=30000-2400$$

Suma 30000 a -2400.

$$1200y=27600$$

Divide ambos lados entre 1200.

$$y=23$$

Substitúe y por 23 en 60x+15y=60. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$60x+15\times 23=60$$

Multiplica 15 por 23.

$$60x+345=60$$

Resta 345 en ambos lados da ecuación.

$$60x=-285$$

Divide ambos lados entre 60.

$$x=-\frac{19}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$