Resolver {l}{4y-5x=-70}{x=-4y-34}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 5 x = - 70 } \\ { x = - 4 y - 34 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=6$$

$$y=-10$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 4y en ambos lados.

$$x+4y=-34$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$4y-5x=-70$$

Suma 5x en ambos lados da ecuación.

$$4y=5x-70$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=\frac{1}{4}\left(5x-70\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -70+5x.

$$y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}$$

Substitúe y por -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4} na outra ecuación, 4y+x=-34.

$$4\left(\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}\right)+x=-34$$

Multiplica 4 por -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4}.

$$5x-70+x=-34$$

Suma 5x a x.

$$6x-70=-34$$

Suma 70 en ambos lados da ecuación.

$$6x=36$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=6$$

Substitúe x por 6 en y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{5}{4}\times 6-\frac{35}{2}$$

Multiplica \frac{5}{4} por 6.

$$y=\frac{15-35}{2}$$

Suma -\frac{35}{2} a \frac{15}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=-10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-10,x=6$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 4y en ambos lados.

$$x+4y=-34$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{5}{24}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\left(-70\right)+\frac{5}{24}\left(-34\right)\\-\frac{1}{6}\left(-70\right)+\frac{1}{6}\left(-34\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-10,x=6$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 4y en ambos lados.

$$x+4y=-34$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

Resta 4y+x=-34 de 4y-5x=-70 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4y-4y-5x-x=-70+34$$

Suma 4y a -4y. 4y e -4y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-5x-x=-70+34$$

Suma -5x a -x.

$$-6x=-70+34$$

Suma -70 a 34.

$$-6x=-36$$

Divide ambos lados entre -6.

$$x=6$$

Substitúe x por 6 en 4y+x=-34. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$4y+6=-34$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$4y=-40$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=-10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-10,x=6$$