Resolver {l}{4x-y=14}{3y+4x=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - y = 14 } \\ { 3 y + 4 x = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{47}{16} = 2\frac{15}{16} = 2.9375$$

$$y = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2.25$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-y=14,4x+3y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-y=14$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$4x=y+14$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+14\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por y+14.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{7}{2}$$

Substitúe x por \frac{y}{4}+\frac{7}{2} na outra ecuación, 4x+3y=5.

$$4\left(\frac{1}{4}y+\frac{7}{2}\right)+3y=5$$

Multiplica 4 por \frac{y}{4}+\frac{7}{2}.

$$y+14+3y=5$$

Suma y a 3y.

$$4y+14=5$$

Resta 14 en ambos lados da ecuación.

$$4y=-9$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=-\frac{9}{4}$$

Substitúe y por -\frac{9}{4} en x=\frac{1}{4}y+\frac{7}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{4}\left(-\frac{9}{4}\right)+\frac{7}{2}$$

Multiplica \frac{1}{4} por -\frac{9}{4} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{9}{16}+\frac{7}{2}$$

Suma \frac{7}{2} a -\frac{9}{16} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{47}{16}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{47}{16},y=-\frac{9}{4}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-y=14,4x+3y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-1\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{4\times 3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{4\times 3-\left(-4\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 14+\frac{1}{16}\times 5\\-\frac{1}{4}\times 14+\frac{1}{4}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{47}{16}\\-\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{47}{16},y=-\frac{9}{4}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-y=14,4x+3y=5$$

Resta 4x+3y=5 de 4x-y=14 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x-y-3y=14-5$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-y-3y=14-5$$

Suma -y a -3y.

$$-4y=14-5$$

Suma 14 a -5.

$$-4y=9$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=-\frac{9}{4}$$

Substitúe y por -\frac{9}{4} en 4x+3y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+3\left(-\frac{9}{4}\right)=5$$

Multiplica 3 por -\frac{9}{4}.

$$4x-\frac{27}{4}=5$$

Suma \frac{27}{4} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{47}{4}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{47}{16}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{47}{16},y=-\frac{9}{4}$$