Resolver {l}{4x-y=1}{2x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - y = 1 } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-y=1,2x+y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-y=1$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$4x=y+1$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por y+1.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$$

Substitúe x por \frac{1+y}{4} na outra ecuación, 2x+y=4.

$$2\left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=4$$

Multiplica 2 por \frac{1+y}{4}.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

Suma \frac{y}{2} a y.

$$\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

Resta \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{3}{2}y=\frac{7}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{3}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{7}{3}$$

Substitúe y por \frac{7}{3} en x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{4}$$

Multiplica \frac{1}{4} por \frac{7}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{7}{12}+\frac{1}{4}$$

Suma \frac{1}{4} a \frac{7}{12} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{5}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-y=1,2x+y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{4-\left(-2\right)}&\frac{4}{4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 4\\-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-y=1,2x+y=4$$

Para que 4x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$2\times 4x+2\left(-1\right)y=2,4\times 2x+4y=4\times 4$$

Simplifica.

$$8x-2y=2,8x+4y=16$$

Resta 8x+4y=16 de 8x-2y=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x-2y-4y=2-16$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y-4y=2-16$$

Suma -2y a -4y.

$$-6y=2-16$$

Suma 2 a -16.

$$-6y=-14$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=\frac{7}{3}$$

Substitúe y por \frac{7}{3} en 2x+y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+\frac{7}{3}=4$$

Resta \frac{7}{3} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{5}{3}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{5}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}$$