Resolver {l}{4x-7y=23}{6x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 7 y = 23 } \\ { 6 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-7y=23$$

Suma 7y en ambos lados da ecuación.

$$4x=7y+23$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(7y+23\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por 7y+23.

$$x=\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}$$

Substitúe x por \frac{7y+23}{4} na outra ecuación, 6x+2y=-3.

$$6\left(\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}\right)+2y=-3$$

Multiplica 6 por \frac{7y+23}{4}.

$$\frac{21}{2}y+\frac{69}{2}+2y=-3$$

Suma \frac{21y}{2} a 2y.

$$\frac{25}{2}y+\frac{69}{2}=-3$$

Resta \frac{69}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{25}{2}y=-\frac{75}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{25}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x=\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{7}{4}\left(-3\right)+\frac{23}{4}$$

Multiplica \frac{7}{4} por -3.

$$x=\frac{-21+23}{4}$$

Suma \frac{23}{4} a -\frac{21}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}&-\frac{-7}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}\\-\frac{6}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}&\frac{7}{50}\\-\frac{3}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}\times 23+\frac{7}{50}\left(-3\right)\\-\frac{3}{25}\times 23+\frac{2}{25}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

Para que 4x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$6\times 4x+6\left(-7\right)y=6\times 23,4\times 6x+4\times 2y=4\left(-3\right)$$

Simplifica.

$$24x-42y=138,24x+8y=-12$$

Resta 24x+8y=-12 de 24x-42y=138 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$24x-24x-42y-8y=138+12$$

Suma 24x a -24x. 24x e -24x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-42y-8y=138+12$$

Suma -42y a -8y.

$$-50y=138+12$$

Suma 138 a 12.

$$-50y=150$$

Divide ambos lados entre -50.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en 6x+2y=-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x+2\left(-3\right)=-3$$

Multiplica 2 por -3.

$$6x-6=-3$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$6x=3$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$