Resolver {l}{4x-5y=18}{3x-2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 18 } \\ { 3 x - 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-5y=18,3x-2y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-5y=18$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$4x=5y+18$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+18\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por 5y+18.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{2}$$

Substitúe x por \frac{5y}{4}+\frac{9}{2} na outra ecuación, 3x-2y=10.

$$3\left(\frac{5}{4}y+\frac{9}{2}\right)-2y=10$$

Multiplica 3 por \frac{5y}{4}+\frac{9}{2}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{27}{2}-2y=10$$

Suma \frac{15y}{4} a -2y.

$$\frac{7}{4}y+\frac{27}{2}=10$$

Resta \frac{27}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{4}y=-\frac{7}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{4}\left(-2\right)+\frac{9}{2}$$

Multiplica \frac{5}{4} por -2.

$$x=\frac{-5+9}{2}$$

Suma \frac{9}{2} a -\frac{5}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-5y=18,3x-2y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 18+\frac{5}{7}\times 10\\-\frac{3}{7}\times 18+\frac{4}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-5y=18,3x-2y=10$$

Para que 4x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\times 18,4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\times 10$$

Simplifica.

$$12x-15y=54,12x-8y=40$$

Resta 12x-8y=40 de 12x-15y=54 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x-15y+8y=54-40$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-15y+8y=54-40$$

Suma -15y a 8y.

$$-7y=54-40$$

Suma 54 a -40.

$$-7y=14$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en 3x-2y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-2\left(-2\right)=10$$

Multiplica -2 por -2.

$$3x+4=10$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$3x=6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-2$$