Resolver {l}{4x-3y-10=0}{3x+4y+5=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 3 x + 4 y + 5 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-3y-10=0$$

Suma 10 en ambos lados da ecuación.

$$4x-3y=10$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$4x=3y+10$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por 3y+10.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

Substitúe x por \frac{3y}{4}+\frac{5}{2} na outra ecuación, 3x+4y+5=0.

$$3\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y+5=0$$

Multiplica 3 por \frac{3y}{4}+\frac{5}{2}.

$$\frac{9}{4}y+\frac{15}{2}+4y+5=0$$

Suma \frac{9y}{4} a 4y.

$$\frac{25}{4}y+\frac{15}{2}+5=0$$

Suma \frac{15}{2} a 5.

$$\frac{25}{4}y+\frac{25}{2}=0$$

Resta \frac{25}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{25}{4}y=-\frac{25}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{25}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{5}{2}$$

Multiplica \frac{3}{4} por -2.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Suma \frac{5}{2} a -\frac{3}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10+\frac{3}{25}\left(-5\right)\\-\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

Para que 4x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$3\times 4x+3\left(-3\right)y+3\left(-10\right)=0,4\times 3x+4\times 4y+4\times 5=0$$

Simplifica.

$$12x-9y-30=0,12x+16y+20=0$$

Resta 12x+16y+20=0 de 12x-9y-30=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x-9y-16y-30-20=0$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-9y-16y-30-20=0$$

Suma -9y a -16y.

$$-25y-30-20=0$$

Suma -30 a -20.

$$-25y-50=0$$

Suma 50 en ambos lados da ecuación.

$$-25y=50$$

Divide ambos lados entre -25.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en 3x+4y+5=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+4\left(-2\right)+5=0$$

Multiplica 4 por -2.

$$3x-8+5=0$$

Suma -8 a 5.

$$3x-3=0$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$3x=3$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-2$$