Resolver {l}{4x-3y=1}{5x+3y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 1 } \\ { 5 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-3y=1,5x+3y=-10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-3y=1$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$4x=3y+1$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por 3y+1.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

Substitúe x por \frac{3y+1}{4} na outra ecuación, 5x+3y=-10.

$$5\left(\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}\right)+3y=-10$$

Multiplica 5 por \frac{3y+1}{4}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{5}{4}+3y=-10$$

Suma \frac{15y}{4} a 3y.

$$\frac{27}{4}y+\frac{5}{4}=-10$$

Resta \frac{5}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{27}{4}y=-\frac{45}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{27}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{5}{3}$$

Substitúe y por -\frac{5}{3} en x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{4}\left(-\frac{5}{3}\right)+\frac{1}{4}$$

Multiplica \frac{3}{4} por -\frac{5}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{-5+1}{4}$$

Suma \frac{1}{4} a -\frac{5}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-\frac{5}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-3y=1,5x+3y=-10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{5}{27}&\frac{4}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\left(-10\right)\\-\frac{5}{27}+\frac{4}{27}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=-\frac{5}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-3y=1,5x+3y=-10$$

Para que 4x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$5\times 4x+5\left(-3\right)y=5,4\times 5x+4\times 3y=4\left(-10\right)$$

Simplifica.

$$20x-15y=5,20x+12y=-40$$

Resta 20x+12y=-40 de 20x-15y=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$20x-20x-15y-12y=5+40$$

Suma 20x a -20x. 20x e -20x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-15y-12y=5+40$$

Suma -15y a -12y.

$$-27y=5+40$$

Suma 5 a 40.

$$-27y=45$$

Divide ambos lados entre -27.

$$y=-\frac{5}{3}$$

Substitúe y por -\frac{5}{3} en 5x+3y=-10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+3\left(-\frac{5}{3}\right)=-10$$

Multiplica 3 por -\frac{5}{3}.

$$5x-5=-10$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$5x=-5$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-\frac{5}{3}$$