Resolver {l}{4x-2y+4=0}{-4x+3y-3=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 2 y + 4 = 0 } \\ { - 4 x + 3 y - 3 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-2y+4=0$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$4x-2y=-4$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$4x=2y-4$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-4\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -4+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

Substitúe x por \frac{y}{2}-1 na outra ecuación, -4x+3y-3=0.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-1\right)+3y-3=0$$

Multiplica -4 por \frac{y}{2}-1.

$$-2y+4+3y-3=0$$

Suma -2y a 3y.

$$y+4-3=0$$

Suma 4 a -3.

$$y+1=0$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=\frac{1}{2}y-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)-1$$

Multiplica \frac{1}{2} por -1.

$$x=-\frac{1}{2}-1$$

Suma -1 a -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{3}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-4+3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

Para que 4x e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y-4\times 4=0,4\left(-4\right)x+4\times 3y+4\left(-3\right)=0$$

Simplifica.

$$-16x+8y-16=0,-16x+12y-12=0$$

Resta -16x+12y-12=0 de -16x+8y-16=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-16x+16x+8y-12y-16+12=0$$

Suma -16x a 16x. -16x e 16x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y-12y-16+12=0$$

Suma 8y a -12y.

$$-4y-16+12=0$$

Suma -16 a 12.

$$-4y-4=0$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$-4y=4$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en -4x+3y-3=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x+3\left(-1\right)-3=0$$

Multiplica 3 por -1.

$$-4x-3-3=0$$

Suma -3 a -3.

$$-4x-6=0$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$-4x=6$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$