Resolver {l}{4x=3y}{y+3=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 3 y } \\ { y + 3 = x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-9$$

$$y=-12$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$4x-3y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y+3-x=0$$

Resta 3 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$y-x=-3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-3y=0$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$4x=3y$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 3y$$

Multiplica \frac{1}{4} por 3y.

$$x=\frac{3}{4}y$$

Substitúe x por \frac{3y}{4} na outra ecuación, -x+y=-3.

$$-\frac{3}{4}y+y=-3$$

Suma -\frac{3y}{4} a y.

$$\frac{1}{4}y=-3$$

Multiplica ambos lados por 4.

$$y=-12$$

Substitúe y por -12 en x=\frac{3}{4}y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

Multiplica \frac{3}{4} por -12.

$$x=-9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-9,y=-12$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$4x-3y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y+3-x=0$$

Resta 3 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$y-x=-3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-3\right)\\4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-9,y=-12$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$4x-3y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y+3-x=0$$

Resta 3 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$y-x=-3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

Para que 4x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$-4x-\left(-3y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Simplifica.

$$-4x+3y=0,-4x+4y=-12$$

Resta -4x+4y=-12 de -4x+3y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-4x+4x+3y-4y=12$$

Suma -4x a 4x. -4x e 4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y-4y=12$$

Suma 3y a -4y.

$$-y=12$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-12$$

Substitúe y por -12 en -x+y=-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x-12=-3$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$-x=9$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-9,y=-12$$