Resolver {l}{4x+y=4}{-3x-6y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 4 } \\ { - 3 x - 6 y = 18 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+y=4$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-y+4$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -y+4.

$$x=-\frac{1}{4}y+1$$

Substitúe x por -\frac{y}{4}+1 na outra ecuación, -3x-6y=18.

$$-3\left(-\frac{1}{4}y+1\right)-6y=18$$

Multiplica -3 por -\frac{y}{4}+1.

$$\frac{3}{4}y-3-6y=18$$

Suma \frac{3y}{4} a -6y.

$$-\frac{21}{4}y-3=18$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{21}{4}y=21$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{21}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=-\frac{1}{4}y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-4\right)+1$$

Multiplica -\frac{1}{4} por -4.

$$x=1+1$$

Suma 1 a 1.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}&-\frac{1}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{21}\\-\frac{1}{7}&-\frac{4}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 4+\frac{1}{21}\times 18\\-\frac{1}{7}\times 4-\frac{4}{21}\times 18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

Para que 4x e -3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$-3\times 4x-3y=-3\times 4,4\left(-3\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 18$$

Simplifica.

$$-12x-3y=-12,-12x-24y=72$$

Resta -12x-24y=72 de -12x-3y=-12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-12x+12x-3y+24y=-12-72$$

Suma -12x a 12x. -12x e 12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y+24y=-12-72$$

Suma -3y a 24y.

$$21y=-12-72$$

Suma -12 a -72.

$$21y=-84$$

Divide ambos lados entre 21.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en -3x-6y=18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-3x-6\left(-4\right)=18$$

Multiplica -6 por -4.

$$-3x+24=18$$

Resta 24 en ambos lados da ecuación.

$$-3x=-6$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-4$$