Resolver {l}{4x+y=20}{x+3y=-17}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 20 } \\ { x + 3 y = - 17 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=7$$

$$y=-8$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+y=20,x+3y=-17$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+y=20$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-y+20$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+20\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -y+20.

$$x=-\frac{1}{4}y+5$$

Substitúe x por -\frac{y}{4}+5 na outra ecuación, x+3y=-17.

$$-\frac{1}{4}y+5+3y=-17$$

Suma -\frac{y}{4} a 3y.

$$\frac{11}{4}y+5=-17$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{11}{4}y=-22$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{11}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-8$$

Substitúe y por -8 en x=-\frac{1}{4}y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-8\right)+5$$

Multiplica -\frac{1}{4} por -8.

$$x=2+5$$

Suma 5 a 2.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=-8$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+y=20,x+3y=-17$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-1}&-\frac{1}{4\times 3-1}\\-\frac{1}{4\times 3-1}&\frac{4}{4\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{11}&\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 20-\frac{1}{11}\left(-17\right)\\-\frac{1}{11}\times 20+\frac{4}{11}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-8\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=7,y=-8$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+y=20,x+3y=-17$$

Para que 4x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$4x+y=20,4x+4\times 3y=4\left(-17\right)$$

Simplifica.

$$4x+y=20,4x+12y=-68$$

Resta 4x+12y=-68 de 4x+y=20 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x+y-12y=20+68$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y-12y=20+68$$

Suma y a -12y.

$$-11y=20+68$$

Suma 20 a 68.

$$-11y=88$$

Divide ambos lados entre -11.

$$y=-8$$

Substitúe y por -8 en x+3y=-17. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+3\left(-8\right)=-17$$

Multiplica 3 por -8.

$$x-24=-17$$

Suma 24 en ambos lados da ecuación.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=-8$$